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 title: "如何教会计算机算术??加减篇"
-pubDate: 2026-08-04
+pubDate: 2026-09-18
 description: '欢迎来到琪露诺的奇妙数学教室，让我们从……加减法开始吧！'
 author: "三叶"
 image: 
@@ -203,7 +203,7 @@ $$
 
 例如在一个8位操作系统中，你使用
 
-```C
+```c
 unsigned int i = 129;
 ```
 
@@ -290,3 +290,102 @@ $$
 加法器的符号就可以表示为：
 
 <img src="https://files.seeusercontent.com/2026/09/17/tE8g/_20260918000903_15_363.webp" alt="一位全加器.png" title="一位全加器" style="display: block; margin: 0px auto; zoom: 18%;">
+
+#### 溢出的判别方法
+
+我们知道，补码的加减法运算仅在**同号相加**或**异号相减**的情况下可能溢出。这在直观上很好理解，因为两个同号数相减时，结果的绝对值肯定会小于减数或被减数的绝对值。
+
+在8bit机器中，当运算结果超出127时，它会回到-128。例如$127+3=-126$。我们依此可以设计出一个非常直观的判断方法：**当两个数的符号相同时，若计算结果的符号和它们不同，则发生了溢出**。
+
+##### 1）**采用一位符号位**
+
+设参与运算的两个数的符号位分别为$A_i$和$B_i$，运算结果的符号位是$S_i$，可得溢出逻辑表达式：
+$$
+V=A_iB_i\overline{S_i}+\overline{A_iB_i}S_i
+$$
+
+##### 2）采用**一位符号位**并结合**进位**
+
+- 如果两个数是正数，那它的符号位都是`0`，肯定不会向后进位。
+  - 此时如果次高位未向它进位，说明符号没有改变，符号位仍然是`0`。
+  - 此时次高位向它进了一位，那符号位就变成`1`了，符号改变，发生溢出。
+- 两数为负数时同理，它们符号位都是`1`，必会向后进一位，且相加后本位是`0`。
+  - 如果次高位向它进`1`，则符号位还是`1`，未溢出。
+  - 若次高位未向它进位，则符号位`0`，符号改变，发生溢出。
+
+总结一下，**如果最高位和次高位发生的进位不同，则溢出**。
+
+换言之，假设计算后符号位产生的进位是$C_n$，次高位（数值的最高位）产生的进位是$C_{n-1}$，若$C_n$与$C_{n-1}$不同，则表示溢出。
+$$
+V=S_{i} \oplus S_{i-1}
+$$
+
+> 你也可以这样理解：
+>
+> 我们知道，在计算机做负数运算时，其实是将该数的补码相加。
+>
+> 那么如果两个数的补码加和结果未溢出，说明原码加和溢出了。
+
+## 三、加减运算电路
+
+Finally! 大的要来了！但是在这之前我们要了解一个小插曲。
+
+### 1. MUX多路选择器
+
+在加减法电路中，我们需要一个**二选一多路选择器MUX**，用它来控制进行加法还是减法。
+
+思路很简单，如果是减法，则给被减数取相反数。也就是
+$$
+X-Y \rightarrow X+(-Y)
+$$
+我们同时给MUX输入$Y$和$\overline{Y}$，并给其一个信号Sub
+
+- 如果Sub为`0`，则说明进行加法，MUX选择$Y$输出
+- 如果Sub是`1`，进行减法，MUX选择$\overline{Y}$输出
+
+> $\overline{Y}$是$Y$的<b>反相</b>。如果$Y=1010$，则$\overline{Y}=0101$。
+
+<img src="https://files.seeusercontent.com/2026/09/18/mTy9/drawio.png" alt="一位全加器.png" title="一位全加器" style="display: block; margin: 0px auto; zoom: 67%;">
+
+### 2. 运算电路
+
+我们把MUX接到加法器的一端，就有了如下电路：
+
+<img src="https://files.seeusercontent.com/2026/09/18/Yw6j/drawio.png" alt="一位全加器.png" title="一位全加器" style="display: block; margin: 0px auto; zoom: 67%;">
+
+在计算机中，有符号数和无符号数的加减运算，均采用这样的同一套电路实现。它的输入端包括连个$n$位操作数$X$和$Y$，还有一个控制信号$Sub$。
+
+控制信号$Sub$不仅决定选择哪一路数据进入加法器，在执行减法时（$Sub$为`1`）作为最低位的进位输入。
+
+现在大功告成了，我们来一步一步解析加减法运算时的工作原理。
+
+#### 加法运算
+
+- $X$直接被输入到加法器中
+- $Sub$为`0`，所以MUX选择$Y$输入到加法器中
+- 加法器直接运算$X+Y+C_{in}$，并输出$n$位结果$F$和进位输出$C_{out}$，并生成状态标志位
+
+值得注意的是，如果$X$和$Y$是无符号数，那么结果$F=(X+Y)\mod2^n$，如果$X+Y\ge2^n$，就会产生进位$C_{out}=1$，就表示发生无符号溢出。
+
+#### 减法运算
+
+- $X$直接被输入到加法器中
+- $Sub$为`1`，所以MUX选择$\overline{Y}$输入到加法器
+- 加法器运算$X+\overline{Y}+C_{in}$，也就是$X+\overline{Y}+1$
+
+如果此时我们在计算有符号数的减法，那么$[Y]_补$取反再+1刚好就是$[-Y]_补$，所做的运算就等同于$X+(-Y)$。
+
+另外，如果计算的是无符号数减法，我们规定**溢出标志OF是$C_{out}$取反**。即$OF=\overline{C_{out}}$。这一点和无符号数加法正好相反。
+
+因为运算等价于$X-Y+2^n$，那么
+
+- $X\ge Y$时，$X-Y+2^n \ge 2^n$，有进位。
+- $X\le Y$时，$X-Y+2^n \le 2^n$，无进位$C_{out}=0$，此时$OF=\overline{C_{out}}=1$，表示溢出。
+
+## 尾声
+
+老妈推门而入，怒目圆瞪地盯着你的电脑屏幕，但此时你打开的是[三叶的博客](https://blog.cloverta.top)！
+
+原来你在学习二进制加减法，她满意地点点头，这个人博客写的还可以的，你记得把他的RSS添加到订阅里。
+
+<img src="https://files.seeusercontent.com/2026/09/18/H6qn/100px-THBWiki-LOGO.gif" alt="一位全加器.png" title="一位全加器" style="display: block; margin: 0px auto; zoom: 67%;">