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+---
+title: "[学习笔记]奇怪的撬棍符号——不定积分篇"
+pubDate: 2026-06-01
+description: '一群快乐的大学生vs一个长得像撬棍的奇怪符号，谁会赢？'
+author: "三叶"
+image: 
+    url: "https://files.seeusercontent.com/2026/06/01/Z0vl/_20260601145930_94_116.webp"
+    alt: "meme"
+tags:  ["学习笔记", "高等数学", "积分"]
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+
+## 开始之前
+
+假设你在夜之城的发电站中安放了电磁炸弹，企图通过毁坏发电站产生的冲击波将义体医生所在的飞行艇击落。但问题是，冲击波的威力范围非常巨大，你必须要逃到安全距离才能避免受到波及。可惜的是，由于干扰无人机和NCPD无形的大手，你无法通过卫星地图查看自己的位置，你应该怎么办呢？
+
+好消息是，你可以记录车子仪表盘上显示的速度曲线，叫惹人厌的强尼帮你计算出表达车速的函数表达式。“这太简单了，v。”强尼说，“我们用不定积分就可以轻松求出时间和行驶路程的函数关系。”
+
+### 什么是积分
+
+首先我们知道，**微分**是把函数切分成极小的变化量，以计算函数在局部的变化规律；而**积分**是微分的对立面，积分将函数极小的变化量一个个累加起来，得到一个整体。
+
+从抽象的函数角度来看，当我们将函数 $y=f(x)$ 微分后的两个极小变化量 $dy$ 和 $dx$ 相除，便可得到函数在该点的瞬时变化率（导数）
+$$
+f'(x)=\frac{dy}{dx}
+$$
+积分所做的事情，就是将每一小段内产生的微小变化量累加起来，从而得到整体的变化量
+$$
+f(x_1)-f(x_0)=\sum \Delta y
+$$
+当区间被划分得越来越细时，每一小段内的实际变化量 $Δy$ 可以用微分 $dy$ 表示。那么将 $x_0$ 到 $x_1$ 内的所有微小变化量 $dy$ 累加起来，你就可以获取到从 $x_0$ 到 $x_1$ 的函数变化量，也就是导函数在该区间上的**定积分**:
+$$
+f(x_1) - f(x_0)= \int_{x_0}^{x_1} \, dy = \int_{x_0}^{x_1} f'(x) \, dx
+$$
+关于定积分的细节和几何理解我们下一节再仔细聊聊，现在我们把公式移项
+$$
+f(x_1) = f(x_0) + \int_{x_0}^{x_1} f'(x) \, dx
+$$
+其中，起点处的函数值 $f(x_0)$ 是一个常数。若不指定初始值，就可以把它写成任意常数 $C$
+$$
+f(x_1) = C + \int_{x_0}^{x_1} f'(x) \, dx
+$$
+当我们不以固定的已知 $x_1$ 为定积分上限，而是用变量 $x$ ，那么我们就能得到**不定积分公式**：
+$$
+\int f'(x) \, dx = f(x) + C
+$$
+变上限定积分给出一个具体的原函数；不定积分则是在这个原函数的基础上加上任意常数 $C$，表示所有可能的原函数。
+
+## 不定积分的基本概念
+
+### 定义
+
+在引言里我们虽然用一通花里胡哨看也看不懂的方法推出了不定积分公式，但引言毕竟是引言~~就算完全不看也没啥大问题。~~
+
+所以不定积分有什么用呢？
+
+> **定义：**$f(x)$的**原函数**的全体称为 $f(x)$ 的**不定积分**。
+
+没错，不定积分，本质上就是：**已知一个函数的导数，反过来找它原来的函数。**
+
+相较于微分，微分是把一个函数拆成它的局部变化规律；不定积分是根据局部变化规律，恢复原来的函数。
+
+### 定理
+
+“很好，v” 强尼挑起他（自以为）帅气的墨镜 “那你知道为什么f(x)在区间I内连续就必定在区间内存在原函数吗？”
+
+> **定理**：若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数。
+
+举个例子吧，强尼说，他将视线落回车子的仪表盘。
+
+我们若定义一个车速与时间相关的函数
+$$
+v(t)
+$$
+那我们可以轻松定义
+$$
+s(t)=\int_{t_0}^{t}v(u) \, du
+$$
+它表示从 $t_0$ 到 $t$ 的位移。
+
+那么我们开车经过了一段很短的时间 $\Delta t$ ，那么新增的路程可以近似为
+$$
+\Delta s \approx v(t) \Delta t
+$$
+即
+$$
+\frac{\Delta s}{\Delta t} \approx v(t)
+$$
+当 $\Delta t → 0$ 时，就可以将上式看作
+$$
+\frac{ds}{dt} = s'(t) = v(t)
+$$
+即变上限积分的求导公式
+$$
+(\int_{t_0}^{t}v(u) \, du)'=v(t)
+$$
+那么就能说明对任意连续的速度函数 $v(t)$，至少存在一个位置函数 $s(t)$，它的导数正好是 $v(t)$。
+
+直觉上来讲，我们开车的时候，连续变化的车速让我们在每一小段时间内必定有一个已知的路程增量让我们的路程函数存在。
+
+那么当 $f(x)$ 不连续时呢？
+
+> **定理**：$f(x)$ 在区间 $I$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上没有原函数。
+
+其实通过我们高中学习的知识就可以知道，对于
+$$
+f(x) = |x|
+$$
+$f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。
+
+直观上理解就是，导数作为函数切线的斜率，在这么一个尖端上不存在切线，那么自然不存在导数。
+
+那么反过来想，对于
+$$
+f(x)=
+\begin{cases}
+1, & x \geq 0, \\
+-1,  & x < 0.
+\end{cases}
+$$
+也就不存在原函数。
+
+如果我们强行假设它有一个原函数 $F(x)$ ，那么
+$$
+\lim_{x \to 0^+} F'(x) = 1 \\
+\lim_{x \to 0^-} F'(x) = -1
+$$
+于是，$F'(x)$ 在 $x=0$ 处从 $-1$ 跳到 $1$。但是根据[达布定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BE%BE%E5%B8%83%E5%AE%9A%E7%90%86)，导函数具有介值性，即必须在 $-1$ 到 $1$ 之间存在某一点使其导数取 $0$ ，以及 $-1$ 和 $1$ 之间的其他数值。
+
+然而在这个 $F'(x)$ 上只能取到 $1$ 和 $-1$ ，因此产生矛盾，所以 $f(x)$ 不存在原函数。
+
+
+
+## 怎么算不定积分
+
+### 第一换元积分法
+
+在微分学习中，我们很清楚
+$$
+\frac{dy}{dx}=f'(x)
+$$
+即
+$$
+dy = df(x) = f'(x)dx
+$$
+那么很显然
+$$
+\int f[\varphi(x)]\varphi'(x) \, dx = \int f[\varphi(x)] \, d \varphi(x) = F[\varphi(x)] + C
+$$
+我们也可以从链式求导的角度理解它
+
+我们对嵌套函数 $F(\varphi(x))$ 求导易得
+$$
+F[\varphi(x)]' = F'[\varphi(x)]\varphi'(x) = f[\varphi(x)]\varphi'(x)
+$$
+那么反过来对它积分就可得上式。
+
+<details>
+  <summary>一些常见的凑微分形式</summary>
+   行内公式：$f(x)=x^2+1$
+
+独立公式：
+
+$$
+\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1
+$$
+</details>
+
+
+
+
+ 
+
+### 分部积分法
+
+在我们记忆深处，有某个公式埋藏在这里，它便是
+$$
+[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
+$$
+现在我们