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+title: "如何教会计算机算术??加减篇"
+pubDate: 2026-08-04
+description: '欢迎来到琪露诺的奇妙数学教室，让我们从……加减法开始吧！'
+author: "三叶"
+image: 
+    url: "https://files.seeusercontent.com/2026/08/04/fkE6/pasted-image-1785836458506.webp"
+    alt: "bintree"
+tags:  ["学习笔记", "计算机组成原理"]
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+1+1等于几？
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+这个问题困扰了人们很多年。
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+有人说，一加一等于1，因为两个麦芽糖黏在一起还是一个麦芽糖。
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+有人说，一加一等于2，因为双击`计算器.exe`，输入1+1，输出结果是2。
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+有人说……
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+<br>
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+……我编不下去了。
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+那么各位小朋友大朋友早上中午晚上好。今天我们要来教会一台计算机如何进行加减法。
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+就是这么简单。
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+咦？其实不简单吗？
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+## 零、让我们从零开始
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+假设你的老妈在厨房大吼：“崽啊，快来吃饭！菜都要凉辣！”但是你此时没有办法迅速赶到餐桌，因为你正在忙着偷偷用老妈的支付宝购买*那个游戏6*！你的手边只有餐厅吊灯的神秘开关，你要怎么像老妈传达信息呢？
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+很简单！控制灯的亮起即可！我们将点亮的灯泡视为`True`（或者更简单地：`1`），熄灭的灯泡视为`False`（或者`0`），这样，你就可以高效地传递信息！
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+随后你毅然决然地关闭了餐厅的灯，坏结局，你的老妈并不知道高深莫测的计算机组成原理，从她的视角来看……
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+<i>小崽子又欠揍了（抄起衣服架子）。</i>
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+怎么办，世界末日就在眼前！但是别慌，因为老妈还有10秒才会破门而入，在这么充裕的时间内足以我们开启下一章节了。
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+## 一、数字在计算机中的表达
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+### 1. 二进制
+
+现在，想象你手中拿的是一根电线，没错，就是连着餐厅吊灯的那条电线，回想一下，你是怎么通过电线进行信号传输的呢？
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+那就是：通电代表`1`，未通电代表`0`。
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+但是这只能表达两种状态啊，这个世界不是非黑即白的，如果我们需要表达四种状态怎么办？
+
+简单，再加上一根电线。
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+现在我们可以通过控制两根电线来表达`00`，`01`，`10`，`11`这四种状态，那给它们起个编号吧！
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+`00`代表`0`；`01`代表`1`；`10`代表`01+01`，进一位，是`2`；`11`就是`10+01`是`3`；
+
+没错，这就是**二进制**表示数据。
+
+在计算机中，我们普遍使用二进制来计算基础运算，这其实是个很显而易见的道理，如果使用十进制，我们需要针对十种不同的状态设计十个不同的电路，而二进制就很简单了，用一根简单的电线，通电代表1，没通电代表0。
+
+#### 二进制的转换
+
+那么假如给你一串随机的**二进制数**：`010110`，我们怎么知道它对应的是多少呢？
+
+我们先来看看十进制数。
+
+随便取一个十进制数：`21367`，它可以很直观地被拆成
+$$
+2\times10^4+1\times10^3+3\times10^2+6\times10^1+7\times10^0=21367
+$$
+那么很直观地我们能想到，对于<b>r进制</b>的数`21367`，我们可以表达成
+$$
+2\times r^4+1\times r^3+3\times r^2+6\times r^1+7\times r^0=21367
+$$
+更通用地，对于<b>r进制的数</b>$K_nK_{n-1}K_{n-2}...K_1K_0$，可以表达为
+$$
+K_nr^n+K_{n-1}r^{n-1}+K_{n-2}r^{n-2}+...+K_1r^1+K_0r^0
+$$
+感觉晕头转向？我们直接拿这个**二进制数**`010110`为例：
+$$
+010110 = 0\times2^5+1\times2^4+0\times2^3+1\times2^2+1\times2^1+0\times2^0
+$$
+于是它所对应的十进制数就是：$2^4+2^2+2^1=16+4+2=22$
+
+怎么样，是不是很简单？
+
+#### 十六进制数
+
+你一定听说过这么个名词：**32位操作系统**和**64位操作系统**。
+
+没错，**32位操作系统**代表着，对于`int`整形的变量，一共有32个**比特**用来存储这么一个数。
+
+也就是说，二进制数的长度最长可以有32位。
+
+好多！那么程序员在调试的时候总不能用手指头指着屏幕上的0和1一个一个数过去吧？
+
+于是我们在此引入**十六进制数**。
+
+我们规定，$A$代表$10$，$B$代表$11$，$C$代表$12$，以此类推，$F$代表$15$。
+
+那么完整的16进制个位数便是：$123456789ABCDEF$
+
+你惊人的注意力一定注意到了，这刚好对应**4位2进制数**！
+
+于是，我们可以将一个很长的**二进制数**`01101011`聚合为两个**十六进制数**`6B`
+
+### 2. 二进制数的编码表示
+
+#### 机器数
+
+现在想必你已经能够熟练的使用二进制数进行加减法了，那我们来想想这么一个情况。
+
+假设一个计算机的寄存器中，只有8个位置，即只能存8个0或1，我们该如何存正数和负数呢？
+
+很简单，拿出第一个位置，规定：
+
+<b>第一个位置存0，代表这是一个正数；存1，代表这是一个负数。</b>
+
+那么我们能表达的最小数字便是：`11111111`即$-127$
+
+最大数是：`01111111`即`127`
+
+但是接下来的问题头疼了，我们怎么对他们进行运算？
+
+#### 原码vs补码
+
+我们知道，为了尽可能简化CPU内部部件以实现资源的最大化利用，我们的CPU基础部件只能进行加法运算。
+
+那么对于两个正数，我们很好计算，比如$1+1$：
+$$
+1+1=0000\ 0001+0000\ 0001 = 0000\ 0010
+$$
+我们尝试把它变大一点：
+$$
+127+3=0111\ 1111+0000\ 0011=1 \ 0000\ 0010
+$$
+多出来了一位！然而很可惜，我们计算机只能存<b>8个bit</b>，所以多出来的`1`我们只能忍痛丢掉，计算结果就是
+$$
+0000\ 0010 = 2
+$$
+这就是计算过程中发生了<b>溢出</b>。导致计算结果和实际结果不一致。
+
+但是你又用惊人的注意力发现了：计算结果是2……这刚好就是……？！
+$$
+130\bmod 128=2
+$$
+没错，我们这样子计算，刚好就是在将计算结果对$128$进行<b>[模运算](https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A8%A1%E7%AE%97%E6%95%B8)</b>！
+
+那我们是不是可以巧妙地利用这一特性，通过加法来实现减法呢？！
+
+比如说我们有两个数：$50$和$30$，我们需要计算$50-30$
+
+既然在这个计算机中，我们计算的结果都是
+$$
+(A+B) \bmod 128
+$$
+那$50-30$就可以看作
+$$
+\begin{aligned}
+[50+(-30)]\bmod 128
+&=[50+(-30\bmod 128)]\bmod 128\\
+&=[50+98]\bmod 128\\
+&=148\bmod 128\\
+&=20
+\end{aligned}
+$$
+哇！天才！<del>台下观众欣喜若狂！</del>
+
+对于二进制数来说，我们怎么表达它呢？
+
+我们在此引入**补码**的概念。
+
+$-30$的二进制原码是：`1001 1110`
+
+现在我们除了符号位以外，全部给他取反得到反码：`1110 0001`
+
+再给它末位加上一，就可以得到**补码**：`1110 0010`。
+
+对于正数，我们则规定**补码就是其本身**。
+
+那么对于$50-30$，我们可以在运算时使用$[50]_{补}+[-30]_{补}$，对于这个计算就变成了
+$$
+0011 \ 0010 + 1110\ 0010 = 1\ 0001\ 0100
+$$
+丢弃溢出的最高位，我们得到`0001 0100`也就是$20$。
+
+#### 补码的其他好处
+
+如果使用原码，我们会发现一个很尴尬的情况：0有两种表示方法。
+
+即`1000 0000`表示`-0`，`0000 0000`表示`+0`。
+
+但在补码中，我们可以规定`1000 0000`表示$-128$，这样就比原码能多存一个数字！表示范围也扩展为$-128$~$127$。
+
+#### 有符号数vs无符号数
+
+以上的带符号的数我们称为**有符号数**。它们在计算机中以**补码**形式存储。
+
+但是对于一些其他需求，我们不需要带符号的数，那么我们在计算机中就直接以**原码**的形式存储，并且**不带符号位**。
+
+例如在一个8位操作系统中，你使用
+
+```C
+unsigned int i = 129;
+```
+
+那么它存的就直接是`1000 00001`